Skalarprodukt-Rechner

Berechne das Skalarprodukt und den Winkel aus zwei 2D- oder 3D-Vektoren. Du erhältst zusätzlich die Beträge, die Projektion und ein Flächenmaß mit dazu.

Vektor-Komponenten

Berechne Skalarprodukt, Winkel, Beträge und Projektion aus zwei 2D- oder 3D-Vektoren.

Skalarprodukt und Lage

Winkel, Kosinus, Projektion und Komponentenprodukte

Gib zwei Vektoren ein, um Skalarprodukt und Winkel zu berechnen.

Wie wird das Skalarprodukt berechnet?

ƒSkalarprodukt zweier Vektoren

\vec a\cdot\vec b=a_xb_x+a_yb_y+a_zb_z=|a|\,|b|\cos(\varphi)

Variablen

\vec a, \vec b

Vektoren-Die beiden Vektoren, deren Richtung und Länge verglichen werden.

a_xb_x

Komponentenprodukt-Produkt der x-Komponente von Vektor a mit der x-Komponente von Vektor b.

|a|, |b|

Vektorbeträge-Längen der beiden Vektoren. Diese Werte werden für Winkel, Kosinus und Projektion benötigt.

\varphi

Winkel-Winkel zwischen den beiden Vektoren. Er folgt aus dem Kosinus des Skalarprodukts.

Beispiele für Skalarprodukt, Winkel und Lage

Die Beispiele zeigen typische Vektorlagen. Dadurch wird sichtbar, warum das Vorzeichen des Skalarprodukts so viel über den Winkel aussagt.

Vektor a	Vektor b	a · b	Winkel	Einordnung
(3; 4)	(4; 0)	12,00	53,13 °	spitzer Winkel
(1; 2; 3)	(2; -1; 0)	0,00	90,00 °	orthogonal
(2; 0)	(-5; 0)	-10,00	180,00 °	parallel, entgegengesetzte Richtung
(1; 1)	(2; 2)	4,00	0,00 °	parallel, gleiche Richtung

Bei echten Aufgaben zählt zuerst, ob beide Vektoren vollständig eingegeben sind. Fehlende z-Komponenten ändern im 3D-Raum das Ergebnis.

Vorzeichen und Winkel beim Skalarprodukt

Das Skalarprodukt verbindet die Koordinatenrechnung mit der geometrischen Lage der Vektoren.

Skalarprodukt	Winkelbereich	Bedeutung
positiv	kleiner als 90 °	Die Vektoren zeigen eher in dieselbe Richtung.
0	genau 90 °	Die Vektoren sind orthogonal, sofern keiner der beiden ein Nullvektor ist.
negativ	größer als 90 °	Die Vektoren zeigen eher gegeneinander.

Der Winkel lässt sich nur berechnen, wenn beide Vektoren eine Länge größer als 0 haben.

Projektion und Flächenmaß aus dem Skalarprodukt

Neben dem Winkel liefert der Rechner Werte, die bei Physik, analytischer Geometrie und Vektorzerlegung häufig direkt gebraucht werden.

Wert	Formel	Wofür er hilft
Kosinus	(a · b) / (\|a\| · \|b\|)	Bestimmt den Winkel zwischen beiden Vektoren.
Skalare Projektion auf b	(a · b) / \|b\|	Zeigt, wie lang der Anteil von a in Richtung von b ist.
Projektionsvektor auf b	((a · b) / \|b\|²) · b	Zerlegt a in einen Anteil parallel zu b.
Parallelogrammfläche	√(\|a\|² · \|b\|² - (a · b)²)	Misst den senkrechten Anteil zwischen den beiden Vektoren.

Projektionen auf den Nullvektor sind nicht definiert. Deshalb blendet der Rechner diese Werte nur bei gültigem Richtungsvektor ein.

Häufig gestellte Fragen zum Skalarprodukt-Rechner

Was berechnet der Skalarprodukt-Rechner?

Der Rechner multipliziert die passenden Komponenten zweier Vektoren und addiert die Produkte. Daraus entstehen Skalarprodukt, Vektorbeträge, Kosinus, Winkel und Projektion. Das Ergebnis ist eine Zahl, kein neuer Vektor.

Wie erkenne ich am Skalarprodukt den Winkel?

Das Vorzeichen liefert die schnelle Einordnung. Ein positives Ergebnis steht für einen spitzen Winkel, 0 steht für einen rechten Winkel und ein negatives Ergebnis steht für einen stumpfen Winkel. Für den exakten Winkel nutzt der Rechner zusätzlich die Beträge beider Vektoren.

Warum ist das Skalarprodukt bei orthogonalen Vektoren 0?

Orthogonale Vektoren stehen senkrecht aufeinander. In der Winkel-Formel steckt dann cos(90 °), und dieser Wert ist 0. Deshalb wird auch |a| · |b| · cos(90 °) zu 0, solange keiner der beiden Vektoren der Nullvektor ist.

Kann ich 2D-Vektoren und 3D-Vektoren berechnen?

Ja. Im 2D-Modus nutzt der Rechner nur x- und y-Komponenten. Im 3D-Modus kommt die z-Komponente dazu. Ein 2D-Vektor lässt sich zwar als 3D-Vektor mit z = 0 schreiben, aber der eigene 2D-Modus verhindert versehentliche z-Eingaben.

Was passiert bei einem Nullvektor?

Das Skalarprodukt mit einem Nullvektor ist 0, weil alle Komponentenprodukte 0 werden. Der Winkel ist dann aber nicht definiert. Ein Nullvektor hat keine Richtung, deshalb kann der Rechner keinen sinnvollen Winkel und keine Projektion berechnen.

Was ist der Unterschied zwischen Skalarprodukt und Kreuzprodukt?

Das Skalarprodukt liefert eine Zahl und beschreibt Winkel, Richtungsgleichheit und Projektionen. Das Kreuzprodukt liefert in 3D einen Vektor, der senkrecht auf beiden Ausgangsvektoren steht. Für Winkelprüfungen ist meist das Skalarprodukt der direktere Weg.

Wofür brauche ich die Projektion?

Die Projektion zeigt den Anteil eines Vektors in Richtung eines anderen Vektors. Das ist nützlich, wenn eine Kraft entlang einer Bewegungsrichtung wirkt oder wenn ein Vektor in parallele und senkrechte Anteile zerlegt werden soll.

Welche Einheit hat das Skalarprodukt?

Die Einheit entsteht aus dem Produkt der beiden Vektoreinheiten. Bei Kraft und Weg wäre das Newtonmeter. Bei reinen Koordinaten ohne Einheit bleibt das Skalarprodukt ebenfalls einheitenlos.

Warum rundet der Rechner Winkel und Projektionen?

Viele Ergebnisse enthalten Wurzeln oder trigonometrische Werte und sind deshalb nicht endlich als Dezimalzahl darstellbar. Die Rundung betrifft nur die Anzeige. Intern rechnet der Rechner mit den ungerundeten Zahlen weiter.

Wie prüfe ich meine Rechnung von Hand?

Schreibe zuerst die Komponentenprodukte untereinander und addiere sie. Danach berechnest du die Beträge beider Vektoren. Der Quotient aus Skalarprodukt und Betragsprodukt ist der Kosinus des Winkels. Genau diese Reihenfolge nutzt auch der Rechner.

Vektor-Komponenten

Vektor a

Vektor b

Winkel und Projektion

Skalarprodukt und Lage

Wie wird das Skalarprodukt berechnet?

ƒSkalarprodukt zweier Vektoren

Variablen

Beispiele für Skalarprodukt, Winkel und Lage

Vorzeichen und Winkel beim Skalarprodukt

Projektion und Flächenmaß aus dem Skalarprodukt

Häufig gestellte Fragen zum Skalarprodukt-Rechner

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