Kreuzprodukt-Rechner

Berechne das Kreuzprodukt und den Normalenvektor aus zwei 3D-Vektoren. Du erhältst zusätzlich den Winkel sowie die Parallelogramm- und Dreiecksfläche.

3D-Vektoren

Berechne a × b, Normalenvektor, Winkel und die aufgespannte Fläche.

Normalenvektor und Fläche

Kreuzprodukt, Betrag, Winkel und Flächenwerte

Gib zwei 3D-Vektoren ein, um das Kreuzprodukt zu berechnen.

Wie wird das Kreuzprodukt berechnet?

ƒKreuzprodukt zweier 3D-Vektoren

\vec a\times\vec b=(a_yb_z-a_zb_y,\;a_zb_x-a_xb_z,\;a_xb_y-a_yb_x)

Variablen

\vec a, \vec b

Eingabevektoren-Zwei Vektoren im dreidimensionalen Raum.

\vec a\times\vec b

Kreuzprodukt-Normalenvektor auf die von a und b aufgespannte Ebene.

|\vec a\times\vec b|

Betrag-Fläche des Parallelogramms, das von beiden Vektoren aufgespannt wird.

Beispiele für Kreuzprodukt, Winkel und Fläche

Die Beispiele zeigen Basisvektoren, schiefe Vektoren und parallele Vektoren. So wird sichtbar, wann ein Normalenvektor entsteht.

Vektor a	Vektor b	a × b	Winkel	Parallelogrammfläche
(1; 0; 0)	(0; 1; 0)	(0; 0; 1)	90,00 °	1,00
(1; 2; 3)	(3; 2; 1)	(-4; 8; -4)	44,42 °	9,80
(2; 4; 6)	(1; 2; 3)	(0; 0; 0)	0,00 °	0,00

Vertauschst du die Reihenfolge der Vektoren, kehrt sich nur die Richtung des Kreuzprodukts um.

Welche Nebenwerte liefert der Kreuzprodukt-Rechner?

Die Nebenwerte helfen, den Normalenvektor nicht nur als Koordinate, sondern geometrisch zu verstehen.

Wert	Formel	Wofür er hilft
Einheitsnormalenvektor	(a × b) / \|a × b\|	Beschreibt nur die Richtung der Senkrechten, ohne Flächengröße.
Parallelogrammfläche	\|a × b\|	Misst die von beiden Vektoren aufgespannte Fläche.
Dreiecksfläche	\|a × b\| / 2	Nützlich, wenn die beiden Vektoren zwei Dreieckskanten bilden.
Winkel	acos((a · b) / (\|a\| · \|b\|))	Trennt parallele, orthogonale und schiefe Lagen.

Der Einheitsnormalenvektor ist nur definiert, wenn die Vektoren nicht parallel sind und keiner der beiden der Nullvektor ist.

Typische Anwendungen des Kreuzprodukts

Das Kreuzprodukt wird immer dann gebraucht, wenn eine senkrechte Richtung oder eine aufgespannte Fläche gesucht ist.

Bereich	Typische Eingaben	Was das Kreuzprodukt liefert
Analytische Geometrie	Zwei Richtungsvektoren einer Ebene	Normalenvektor der Ebene
Flächenrechnung	(4; 0; 0) und (0; 3; 0)	Parallelogramm 12,00, Dreieck 6,00
Physik	Hebelarm und Kraft	Richtung und Betrag des Drehmoments
3D-Grafik	Zwei Kanten einer Dreiecksfläche	Normalenrichtung für Beleuchtung und Sichtbarkeit

Die Richtung hängt von der Reihenfolge ab. a × b und b × a zeigen in entgegengesetzte Richtungen.

Häufig gestellte Fragen zum Kreuzprodukt-Rechner

Was berechnet der Kreuzprodukt-Rechner?

Der Rechner bildet aus zwei 3D-Vektoren einen neuen Vektor. Dieser Vektor steht senkrecht auf beiden Eingabevektoren. Zusätzlich berechnet der Rechner Betrag, Winkel, Parallelogrammfläche, Dreiecksfläche und den Einheitsnormalenvektor.

Wann ist das Kreuzprodukt sinnvoll?

Das Kreuzprodukt ist sinnvoll, wenn eine senkrechte Richtung gesucht ist. In der analytischen Geometrie ist das häufig der Normalenvektor einer Ebene. In der Physik beschreibt dieselbe Rechnung zum Beispiel die Richtung eines Drehmoments.

Warum funktioniert das Kreuzprodukt nur in 3D?

Das klassische Kreuzprodukt liefert wieder einen Vektor im selben Raum und steht senkrecht auf zwei Ausgangsvektoren. Diese Kombination passt im Schul- und Hochschulkontext zum dreidimensionalen Raum. Für 2D-Aufgaben nutzt man oft nur den z-Anteil als orientierte Fläche.

Was bedeutet ein Kreuzprodukt von 0?

Dann entsteht der Nullvektor. Das passiert bei parallelen Vektoren, bei entgegengesetzt parallelen Vektoren oder wenn einer der beiden Eingabevektoren selbst der Nullvektor ist. In allen Fällen wird keine Fläche aufgespannt.

Wie hängt die Parallelogrammfläche mit dem Kreuzprodukt zusammen?

Der Betrag des Kreuzprodukts ist genau die Fläche des Parallelogramms, das von beiden Vektoren gebildet wird. Für die Dreiecksfläche mit denselben Kanten wird dieser Betrag halbiert.

Warum ändert sich das Ergebnis, wenn ich a und b vertausche?

Das Kreuzprodukt ist nicht kommutativ. a × b und b × a haben denselben Betrag, zeigen aber in entgegengesetzte Richtungen. Für Normalenvektoren ist diese Orientierung wichtig, etwa bei Flächen in 3D-Modellen.

Wie prüfe ich, ob das Ergebnis wirklich senkrecht ist?

Berechne das Skalarprodukt des Ergebnisses mit Vektor a und mit Vektor b. Beide Werte müssen 0 sein. Kleine Rundungsabweichungen können bei Dezimalzahlen auftreten, die Richtung bleibt trotzdem korrekt.

Was ist der Einheitsnormalenvektor?

Der Einheitsnormalenvektor ist das Kreuzprodukt geteilt durch seinen Betrag. Dadurch bleibt die senkrechte Richtung erhalten, aber die Länge wird auf 1 normiert. Bei parallelen Vektoren ist dieser Wert nicht definiert.

Welche Rolle spielt die Rechte-Hand-Regel?

Die Rechte-Hand-Regel legt die Richtung von a × b fest. Zeigefinger und Mittelfinger folgen den beiden Eingabevektoren, der Daumen zeigt dann in Richtung des Kreuzprodukts. Vertauschte Vektoren drehen diese Richtung um.

Wie kann ich das Kreuzprodukt von Hand berechnen?

Berechne zuerst a_yb_z - a_zb_y für die x-Komponente. Danach folgen a_zb_x - a_xb_z und a_xb_y - a_yb_x. Aus diesen drei Werten entsteht der Ergebnisvektor.

Kreuzprodukt-Rechner

3D-Vektoren

Vektor a

Vektor b

Richtung zählt

Normalenvektor und Fläche

Wie wird das Kreuzprodukt berechnet?

ƒKreuzprodukt zweier 3D-Vektoren

Variablen

Beispiele für Kreuzprodukt, Winkel und Fläche

Welche Nebenwerte liefert der Kreuzprodukt-Rechner?

Typische Anwendungen des Kreuzprodukts

Häufig gestellte Fragen zum Kreuzprodukt-Rechner

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