Vektor-Rechner

Berechne Betrag, Einheitsvektor und Richtungswinkel für 2D- und 3D-Vektoren. Du bekommst zusätzlich die Achsenwinkel und jeweils die dominante Achse dazu.

Vektor-Komponenten

Berechne Betrag, Einheitsvektor, Richtung und Achsenbezug eines 2D- oder 3D-Vektors.

Vektorbetrag und Richtung

Betrag, Einheitsvektor, Richtungswinkel und Achsenbezug

Gib die Vektorkomponenten ein, um Betrag und Richtung zu berechnen.

Wie wird die Vektorlänge berechnet?

ƒBetrag eines Vektors

|\vec v|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}

Variablen

\vec v

Vektor-Der eingegebene Vektor mit x-, y- und optionaler z-Komponente.

x, y, z

Komponenten-Koordinatenanteile des Vektors entlang der Hauptachsen.

|\vec v|

Vektorbetrag-Länge des Vektors vom Ursprung bis zum Punkt mit den eingegebenen Koordinaten.

Beispielwerte für Vektorbetrag und Richtung

Die Beispiele zeigen typische Vektoren in 2D und 3D, einschließlich Nullvektor und Diagonalrichtung.

Vektor	Betrag	Einheitsvektor	Richtung
(3; 4)	5,00	(0,60; 0,80)	klassisches 3-4-5-Dreieck
(1; 1; 1)	1,73	(0,58; 0,58; 0,58)	mehrere Achsen gleich stark
(0; -5)	5,00	(0,00; -1,00)	y-Achse
(0; 0; 0)	0,00	nicht definiert	keine Achse

Der Einheitsvektor hat immer die Länge 1, außer beim Nullvektor. Dort fehlt eine Richtung.

Welche Nebenwerte liefert der Vektor-Rechner?

Neben dem Betrag helfen diese Werte, die Richtung und Skalierung eines Vektors einzuordnen.

Wert	Formel	Wofür er hilft
Quadratischer Betrag	x² + y² + z²	Praktisch, wenn nur Beträge verglichen werden und keine Wurzel nötig ist.
Einheitsvektor	v / \|v\|	Beschreibt nur die Richtung und entfernt die Länge.
Richtungswinkel in 2D	atan2(y, x)	Zeigt den Winkel des Vektors zur positiven x-Achse.
Achsenwinkel in 3D	acos(Komponente / \|v\|)	Ordnet ein, wie stark der Vektor zu x-, y- und z-Achse zeigt.

Achsenwinkel und Einheitsvektor sind nur definiert, wenn der Vektor nicht die Länge 0 hat.

2D oder 3D im Vektor-Rechner

Der Modus entscheidet, ob die z-Komponente Teil der Aufgabe ist oder bewusst ausgeblendet wird.

Modus	Formel	Typische Verwendung
2D	√(x² + y²)	Ebene Geometrie, Bildschirmkoordinaten, Karten und Diagramme.
3D	√(x² + y² + z²)	Raumgeometrie, Kräfte, Geschwindigkeit, Modellierung und analytische Geometrie.

Ein 2D-Vektor lässt sich als 3D-Vektor mit z = 0 schreiben. Für Eingabefehler ist ein eigener 2D-Modus trotzdem hilfreicher.

Häufig gestellte Fragen zum Vektor-Rechner

Was berechnet der Vektor-Rechner?

Der Rechner bestimmt den Betrag eines 2D- oder 3D-Vektors. Zusätzlich zeigt er den quadratischen Betrag, den Einheitsvektor, Richtungswinkel und eine kurze Einordnung der größten Komponente.

Was bedeutet der Betrag eines Vektors?

Der Betrag ist die Länge des Vektors. Geometrisch misst er die Strecke vom Ursprung bis zum Punkt, der durch die Komponenten beschrieben wird. Bei (3; 4) entsteht deshalb die Länge 5.

Wie wird der Einheitsvektor berechnet?

Jede Komponente wird durch den Betrag des Vektors geteilt. Dadurch bleibt die Richtung gleich, aber die Länge wird auf 1 normiert. Beim Nullvektor funktioniert das nicht, weil durch 0 geteilt werden müsste.

Wann sollte ich 2D und wann 3D wählen?

2D passt für Aufgaben in einer Ebene, etwa Koordinatensysteme, Karten oder Bildschirmpositionen. 3D passt, wenn eine z-Komponente wirklich zur Aufgabe gehört, zum Beispiel bei Raumvektoren, Kräften oder Bewegungen im Raum.

Warum ist der Nullvektor ein Sonderfall?

Der Nullvektor hat die Länge 0 und zeigt in keine Richtung. Deshalb kann sein Betrag berechnet werden, aber Einheitsvektor und Richtungswinkel sind nicht definiert. Diese Unterscheidung verhindert falsche Winkelangaben.

Was sagt die dominante Achse aus?

Die dominante Achse ist die Achse mit der betragsmäßig größten Komponente. Diese Achse zeigt, welche Richtung den Vektor am stärksten prägt. Bei gleich starken Komponenten liegt der Vektor eher diagonal zwischen den Achsen.

Was ist der Unterschied zwischen Betrag und quadratischem Betrag?

Der quadratische Betrag ist x² + y² + z². Der Betrag ist die Wurzel daraus. Für Vergleiche reicht oft der quadratische Betrag, weil die Wurzel die Reihenfolge nicht verändert.

Kann der Betrag negativ werden?

Nein. Ein Betrag ist immer größer oder gleich 0. Negative Komponenten sind erlaubt, aber durch Quadrieren tragen sie positiv zur Länge bei. Nur der Nullvektor hat genau den Betrag 0.

Was bedeutet der Richtungswinkel in 2D?

Der Richtungswinkel beschreibt, wie der Vektor in der Ebene zur positiven x-Achse liegt. Der Rechner verwendet atan2, damit auch Vektoren mit negativer x- oder y-Komponente korrekt im passenden Quadranten landen.

Wie prüfe ich den Vektorbetrag von Hand?

Quadriere jede Komponente, addiere die Quadrate und ziehe daraus die Wurzel. Bei (3; 4) ergibt das √(9 + 16) = √25 = 5. In 3D kommt das Quadrat der z-Komponente dazu.

Vektor-Komponenten

Betrag und Richtung

Vektorbetrag und Richtung

Wie wird die Vektorlänge berechnet?

ƒBetrag eines Vektors

Variablen

Beispielwerte für Vektorbetrag und Richtung

Welche Nebenwerte liefert der Vektor-Rechner?

2D oder 3D im Vektor-Rechner

Häufig gestellte Fragen zum Vektor-Rechner

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