Stammfunktion-Rechner

Berechne Stammfunktionen für Polynome und Potenzterme mit bestimmten Integralen, Auswertung und Ableitungscheck.

Funktion, Grenzen und Konstante

Bilde Stammfunktionen für Polynome oder einen einzelnen Potenzterm mit Auswertung und Integral.

Stammfunktion und Integralwert

Ergebnis mit Ableitungscheck, Funktionswerten und bestimmtem Integral

Gib die Funktion ein und starte die Berechnung.

Wie funktioniert die Stammfunktion?

ƒPotenzregel für Stammfunktionen

\int a x^n\,dx = \frac{a}{n+1}x^{n+1}+C

Variablen

a

Koeffizient-Der Faktor vor der Potenz.

n

Exponent-Die Potenz von x. Für n = -1 gilt die Logarithmus-Regel.

C

Integrationskonstante-Jede Stammfunktion darf um eine Konstante verschoben werden.

Stammfunktion-Fälle im Rechner

Der Rechner trennt Polynom-Terme und einzelne Potenzterme, weil beide im Alltag unterschiedlich eingegeben werden.

Fall	f(x)	F(x)	Integral
Polynom	2,00x^3 - 3,00x^2 + 5,00x + 4,00	0,50x^4 - 1,00x^3 + 2,50x^2 + 4,00x + C	18,00
Potenz	4,00x^2	1,33x^3 + C	36,00
Logarithmus	3,00x^-1	3,00 ln(\|x\|) + C	3,00

Das bestimmte Integral ist F(obere Grenze) minus F(untere Grenze). Die Konstante C fällt dabei weg.

Potenzregel richtig anwenden

Bei jedem Term wird einzeln integriert. Diese Tabelle zeigt typische Potenzen und die passende Stammfunktion.

f(x)	Schritt	F(x)
6x^5	Exponent 5 wird zu 6, Koeffizient 6 wird durch 6 geteilt.	x^6 + C
-3x^2	Exponent 2 wird zu 3, Koeffizient -3 wird durch 3 geteilt.	-x^3 + C
4	Eine Konstante wird mit x multipliziert.	4x + C
3x^-1	Der Sonderfall x^-1 wird logarithmisch integriert.	3 ln(\|x\|) + C

Die Potenzregel gilt direkt für n ungleich -1. Bei n = -1 entsteht ln(|x|).

Häufige Fehler bei Stammfunktionen

Viele falsche Ergebnisse entstehen nicht durch Rechnen, sondern durch vergessene Sonderfälle oder zu frühes Runden.

Thema	Typischer Fehler	Kontrolle
Integrationskonstante	C wird bei unbestimmten Integralen vergessen.	F'(x) bleibt auch mit C unverändert.
Bestimmtes Integral	C wird in F(b) und F(a) mitgerechnet und nicht gekürzt.	C hebt sich bei F(b) minus F(a) weg.
Logarithmus	x^-1 wird fälschlich zu x^0 integriert.	Die Ableitung von ln(\|x\|) ist 1/x.
Negative Fläche	Ein negatives Integral wird als Rechenfehler gelesen.	Werte unterhalb der x-Achse zählen negativ.

Die beste Kontrolle ist das Ableiten der berechneten Stammfunktion. Der Rechner zeigt deshalb einen Ableitungscheck.

Häufig gestellte Fragen zum Stammfunktion-Rechner

Was berechnet der Stammfunktion-Rechner?

Der Rechner bildet zu einem Polynom oder einem einzelnen Potenzterm eine Stammfunktion. Zusätzlich wertet er f(x) und F(x) an einer Stelle aus und berechnet ein bestimmtes Integral zwischen zwei Grenzen. So siehst du nicht nur die Formel, sondern auch den Zahlenwert.

Warum steht am Ende immer + C?

Beim Ableiten verschwindet jede Konstante. Deshalb haben unbestimmte Integrale nicht nur eine Stammfunktion, sondern eine ganze Familie von Stammfunktionen. Das + C steht für diese beliebige Verschiebung nach oben oder unten.

Wie funktioniert die Potenzregel bei Stammfunktionen?

Für ax^n erhöhst du den Exponenten um 1 und teilst den Koeffizienten durch den neuen Exponenten. Aus 6x^5 wird also x^6. Diese Regel gilt direkt für alle Potenzen außer x^-1, weil dort der neue Exponent 0 wäre.

Was passiert bei x^-1?

Bei x^-1 nutzt du nicht die normale Potenzregel. Die Stammfunktion von 1/x ist ln(|x|). Bei 3x^-1 wird daraus 3 ln(|x|) + C. Auswertung und Integralgrenzen dürfen dabei nicht über x = 0 laufen, weil die Funktion dort nicht definiert ist.

Wie prüfe ich, ob eine Stammfunktion richtig ist?

Leite die Stammfunktion wieder ab. Wenn du dabei zur ursprünglichen Funktion kommst, passt sie. Genau deshalb zeigt der Rechner einen Ableitungscheck. Bei Polynomen ist diese Kontrolle besonders hilfreich, weil Vorzeichen und Brüche schnell verrutschen.

Was bedeutet das bestimmte Integral?

Das bestimmte Integral ist die Änderung der Stammfunktion zwischen zwei Grenzen. Du berechnest F(obere Grenze) minus F(untere Grenze). Je nach Lage der Funktion kann dieser Wert positiv, negativ oder 0 sein. Das ist kein Rundungsfehler.

Warum kann ein Integral negativ sein?

Flächen oberhalb der x-Achse zählen positiv, Flächen unterhalb der x-Achse negativ. Wenn im Intervall mehr negative als positive Anteile liegen, wird das bestimmte Integral negativ. Für reine geometrische Fläche müsste man Beträge getrennt betrachten.

Kann der Rechner jede Funktion integrieren?

Nein. Der Rechner ist bewusst auf Polynome bis Grad 3 und einzelne Potenzterme begrenzt. Das deckt viele Schul- und Grundkursaufgaben ab und bleibt gut prüfbar. Produkte, Verkettungen, trigonometrische Funktionen und Brüche brauchen eigene Integrationsregeln.

Warum gibt es getrennte Felder für Polynom und Potenzterm?

Polynome lassen sich Term für Term integrieren. Ein einzelner Potenzterm ist besser, wenn du mit negativen Exponenten oder dem Logarithmusfall arbeitest. Die getrennten Felder verhindern, dass der Sonderfall x^-1 in einer allgemeinen Polynommaske untergeht.

Wie genau sollte ich die Stammfunktion runden?

Runde Brüche und Zwischenwerte möglichst spät. Gerade beim bestimmten Integral können früh gerundete Koeffizienten den Endwert verschieben. Für Aufgaben mit exakten Brüchen solltest du die angezeigten Dezimalwerte als Kontrolle und nicht als Ersatz für den Rechenweg verwenden.

Stammfunktion-Rechner

Funktion, Grenzen und Konstante

Ableitung als Kontrolle

Stammfunktion und Integralwert

Wie funktioniert die Stammfunktion?

ƒPotenzregel für Stammfunktionen

Variablen

Stammfunktion-Fälle im Rechner

Potenzregel richtig anwenden

Häufige Fehler bei Stammfunktionen

Häufig gestellte Fragen zum Stammfunktion-Rechner

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